Question

已知函数f(x)=

lg(x2-2x)

9-x2

的定义域为A，
（1）求A；
（2）若B={x|x²-2x+1-k²≥0}，且A是B的真子集，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数成立的条件求函数的定义域即可求A；
（2）利用A是B的真子集，建立条件关系即可求实数k的取值范围．

解答：解：（1）由

x2-2x＞0 9-x2＞0

，----------------------------------------------------------（2分）
解得-3＜x＜0或2＜x＜3，
∴A=（-3，0）∪（2，3）---------------（4分）
（2）法一：B中[x-（1-k）][x-（1+k）]≥0--------------------------------------（6分）

若1-k=1+k，即k=0时，此时B=R，符合题意；----------------------（8分）
若1-k＜1+k，即k＞0时，此时B=（-∞，1-k]∪[1+k，+∞），
由A是B的真子集得

1+k≤2 1-k≥0 k＞0

⇒0＜k≤1，-----------------------------------（10分）
若1-k＞1+k，即k＜0时，此时B=（-∞，1+k]∪[1-k，+∞），
由A是B的真子集得

1-k≤2 1+k≥0 k＜0

⇒-1≤k＜0，-------------------------------（12分）
综上得k∈[-1，1]------------------------------------------------------------------（14分）
法二：∵x∈A时总有x∈B，
∴x∈（-3，0）∪（2，3）时总有k²≤（x-1）²----（8分）
∴k²≤1，k∈[-1，1]；----------------------------------------------------------------（12分）
此时，显然有-4∈B但-4∉A，
∴A是B的真子集，综上得k∈[-1，1]--（14分）

点评：本题主要考查函数定义域的求法以及集合关系的应用，要注意对集合B要进行分类讨论．