【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B是菱形,侧面AA1C1C是矩形,平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,∠BAA1,AA1=2AC=2,O为AA1的中点.
(1)求证:OC⊥BC1;
(2)求点C1到平面ABC的距离.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)连接,AA1=2AC=2,O为AA1的中点,可得
,可证
,侧面AA1B1B是菱形,
,有
,结合平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,可证
平面AA1C1C,可得
,进而有
平面
,即可证明结论;
(2),可证
平面
,点C1到平面ABC的距离与点A1到平面ABC的距离相等,由(1)
平面AA1C1C,求出
的面积,用等体积法
,即可求解.
(1)证明:连接,AA1=2AC=2,O为AA1的中点,
,
,
因为侧面AA1B1B是菱形,,
所以为等边三角形,O为AA1的中点,
所以,平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,
平面AA1C1C平面AA1B1B
平面AA1B1B,
所以平面AA1C1C,同理可证
平面AA1B1B,
平面AA1C1C,所以
,
平面
,所以
平面
,
因为平面
,所以
;
(2)因为侧面AA1C1C是矩形,所以,
平面
,
平面
,
所以平面
,
点C1到平面ABC的距离与点A1到平面ABC的距离相等,
设C1到平面ABC的距离为,
由(1)得平面AA1C1C,
平面AA1B1B,
所以,
,
,
所以点C1到平面ABC的距离为.
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【题目】某专卖店销售一新款服装,日销售量(单位为件)f(n) 与时间n(1≤n≤30、nN*)的函数关系如下图所示,其中函数f(n) 图象中的点位于斜率为 5 和-3 的两条直线上,两直线交点的横坐标为m,且第m天日销售量最大.
(Ⅰ)求f(n) 的表达式,及前m天的销售总数;
(Ⅱ)按以往经验,当该专卖店销售某款服装的总数超过 400 件时,市面上会流行该款服装,而日销售量连续下降并低于 30 件时,该款服装将不再流行.试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过 10 天?请说明理由.
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【题目】已知集合是满足下列性质的函数
的全体:存在实数
、
,对于定义域内任意
,均有
成立,称数对
为函数
的“伴随数对”.
(1)判断函数是否属于集合
,并说明理由;
(2)若函数,求满足条件的函数
的所有“伴随数对”;
(3)若、
都是函数
的“伴随数对”,当
时,
,当
时,
,求当
时,函数
的解析式和零点.
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【题目】已知,
为实数,函数
,且函数
是偶函数,函数
在区间
上是减函数,且在区间
上是增函数.
(1)求函数的解析式;
(2)求实数的值;
(3)设,问是否存在实数
,使得
在区间
上有最小值-2?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图一块长方形区域,
,
,在边
的中点
处有一个可转动的探照灯,其照射角
始终为
,设
,探照灯照射在长方形
内部区域的面积为
.
(1)当时,求
关于
的函数关系式;
(2)当时,求
的最大值;
(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(自
转到
,再回到
,称“一个来回”,忽略
在
及
处所用的时间),且转动的角速度大小一定,设
边上有一点
,且
,求点
在“一个来回”中被照到的时间.
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【题目】已知集合函数
,函数
的值域为
,
(1)若不等式的解集为
,求
的值;
(2)在(1)的条件下,若恒成立,求
的取值范围;
(3)若关于的不等式
的解集
,求实数
的值
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【题目】已知椭圆C:(
)的焦距为
,且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于
、
,且在椭圆C上存在点M,使得:
(其中O为坐标原点),则称直线l具有性质H.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l垂直于x轴,且具有性质H,求直线l的方程;
(3)求证:在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线、
、
都具有性质H.
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【题目】某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
个数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
(1)若将频率是为概率,从这个水果中有放回地随机抽取
个,求恰好有
个水果是礼品果的概率.(结果用分数表示)
(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案:不分类卖出,单价为
元
.
方案:分类卖出,分类后的水果售价如下:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
售价(元/kg) | 16 | 18 | 22 | 24 |
从采购单的角度考虑,应该采用哪种方案?
(3)用分层抽样的方法从这个水果中抽取
个,再从抽取的
个水果中随机抽取
个,
表示抽取的是精品果的数量,求
的分布列及数学期望
.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.
(1)设,判断
在
上是否为有界函数,若是,请说明理由,并写出
的所有上界
的集合;若不是,也请说明理由;
(2)若函数在
上是以
为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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