【题目】已知,
为实数,函数
,且函数
是偶函数,函数
在区间
上是减函数,且在区间
上是增函数.
(1)求函数的解析式;
(2)求实数的值;
(3)设,问是否存在实数
,使得
在区间
上有最小值-2?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,
或
【解析】
(1)利用函数是偶函数,求函数
的解析式;
(2)利用复合函数的单调性,求实数b的值;
(3)分类讨论,求出函数的最小值,利用在区间
上有最小值为﹣2,得出结论.
(1)∵函数是偶函数,∴(x+1)2+a(x+1)+1=(﹣x+1)2+a(﹣x+1)+1,∴4x+2ax=0,∴a=﹣2,
∴=(x﹣1)2;
(2)=﹣bx4+(5b﹣1)x2+2﹣b,
令t=x2,u(t)=﹣bt2+(5b﹣1)t﹣(b﹣2),
在区间上,t=x2是减函数,且t∈
,由
是减函数,可知
为增函数;
在区间上,t=x2是减函数,且t∈(0,4),由
是增函数,可知
为减函数,
∴由在(0,4)上是减函数,(4,+∞)上是增函数,可得二次函数开口向上,b<0,且﹣
=4,
∴;
(3),x∈[0,2].
当q<0,ymin=h(0)=1+2q=﹣2,q=﹣;
当0≤q≤2,ymin=h(q)=﹣q2+2q+1=﹣2,∴q=3或﹣1,舍去;
当q>2,ymin=h(2)=﹣2q+5=﹣2,q=,
综上所述:或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的通项公式为
,其中
,
、
.
(1)试写出一组、
的值,使得数列
中的各项均为正数.
(2)若,
,数列
满足
,且对任意的
(
),均有
,写出所有满足条件的
的值.
(3)若,数列
满足
,其前
项和为
,且使
(
、
,
)的
和
有且仅有
组,
、
、…、
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求
、
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的通项公式为 an=(n﹣k1)(n﹣k2),其中k1,k2∈Z:
(1)试写出一组k1,k2∈Z的值,使得数列{an}中的各项均为正数;
(2)若k1=1、k2∈N*,数列{bn}满足bn=,且对任意m∈N*(m≠3),均有b3<bm,写出所有满足条件的k2的值;
(3)若0<k1<k2,数列{cn}满足cn=an+|an|,其前n项和为Sn,且使ci=cj≠0(i,j∈N*,i<j)的i和j有且仅有4组,S1、S2、…、Sn中至少3个连续项的值相等,其他项的值均不相等,求k1,k2的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数):第一行是以4为首项,4为公差的等差数列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如:
;
为数表中第
行的第
个数.
…
…
…
……
(1)求第2行和第3行的通项公式和
;
(2)证明:数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列,并求关于
的表达式;
(3)若,
,试求一个等比数列
,使得
,且对于任意的
,均存在实数
,当
时,都有
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B是菱形,侧面AA1C1C是矩形,平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,∠BAA1,AA1=2AC=2,O为AA1的中点.
(1)求证:OC⊥BC1;
(2)求点C1到平面ABC的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(1)作出函数的图像;
(2)根据(1)所得图像,填写下面的表格:
性质 | 定义域 | 值域 | 单调性 | 奇偶性 | 零点 |
(3)关于的方程
恰有6个不同的实数解,求
的取值范围.
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