Question

已知函数f(x)=2sin(2x-

π

4

)，x∈R．
（1）求函数f（x）在[0，π]内的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在x=x₀处取到最大值，求f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值．

Answer 1

分析：（1）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3

2

π，可得kπ+

3

8

π≤x≤kπ+

7

8

π(k∈Z)，结合x∈[0，π]可求．
（2）f（x₀）为最大值可得，2x0-

π

4

=2kπ+

π

2

解出x₀，代入函数可求．

解答：解：（1）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3

2

π 
可得2kπ+

3

4

π≤2x≤2kπ+

7

4

π
得kπ+

3

8

π≤x≤kπ+

7

8

π(k∈Z)
而x∈[0，π]当k=0时，x∈[

3

8

π，

7

8

π]
即f（x）在[0，π]内递减区间为[

3

8

π，

7

8

π]
（2）∵f（x₀）为最大值
则2x0-

π

4

=2kπ+

π

2

可得，x0=kπ+

3

8

π(k∈Z)，2x0=2kπ+

3

4

π(k∈Z)，3x0=3kπ+

9

8

π(k∈Z)，，
∴f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）
=2+2sin(4x0-

π

4

)+2sin(6x0-

π

4

)=2+2sin(4kπ+

5

4

π)+2sin(6kπ+2π)
=2+2sin

5

4

π=2-2×

2

2

=2-

2

点评：本题主要考查三角函数的单调区间的求解，函数取得最值的条件，及由角求解三角函数值等知识的简单综合，属于中档试题．