Question

【题目】已知椭圆的右焦点为且过点椭圆C与轴的交点为A、B(点A位于点B的上方)，直线与椭圆C交于不同的两点M、N(点M位于点N的上方).

(1)求椭圆C的方程；

(2)求△OMN面积的最大值；

(3)求证:直线AN和直线BM交点的纵坐标为常值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），证明见解析

【解析】

（1）由题可知，椭圆过点所以将点代入可得，再结合椭圆的关系式即可求解

（2）联立椭圆和直线的方程，表示出韦达定理，再表示出弦长公式，用点到直线距离公式表示出点到直线距离，进一步化简求值即可

（3）结合（2）中的韦达定理，表示出直线与直线方程，再联立求解即可

（1）由题可知，又椭圆过点所以将点代入椭圆的标准方程可得，结合椭圆的关系式，可得，所以椭圆的标准方程为

（2）设，联立方程组，

化简得，由△，

解得，由韦达定理，得，，

，点到直线距离，则

,令，，则

可代换为

当时，取到最大值，

（3）借用（2）中的韦达定理，直线的方程①

直线的方程②，联立①②，

得

即直线与直线的交点在定直线上．