【题目】若正项数列满足:
,则称此数列为“比差等数列”.
(1)试写出一个“比差等数列”的前项;
(2)设数列是一个“比差等数列”,问
是否存在最小值,如存在,求出最小值;如不存在,请说明理由;
(3)已知数列是一个“比差等数列”,
为其前
项的和,试证明:
.
【答案】(1)、
、
(答案不唯一);(2)存在,且
的最小值为
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据“比差等数列”的定义得出,由
,可得出
,然后对
取一个大于
的值,可得出一个符合条件的“比差等数列”
的前
项;
(2)由题意得出,且
,利用基本不等式可求出
的最小值;
(3)由可推出
,利用数学归纳法证明
,由此得出
,
、
、
、
,然后利用同向不等式的可加性可证明出
成立.
(1)由于数列为“比差等数列”,则
,可得
.
由于数列每项都是正数,则
,可得出
.
若,则
,
.
因此,“比差等数列”的前项可以是
、
、
(答案不唯一);
(2)由(1)可知,,则
,
,
当且仅当时,等号成立,因此,
有最小值
;
(3)由题意可得.
由于双勾函数在
上是增函数,
,
,且
,则
,
同理可得.
猜想,当时,
.
假设当时,猜想成立,即
;
那么当时,由于函数
在
上是增函数,
且,
所以,.
由归纳原理可知,当时,
.
于是有,
、
、
、
,
将上述不等式全部相加得.
因此,.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从全校学生中抽取了容量为n的样本,得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表:
超过1小时 | 不超过1小时 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
(1)求m,n;
(2)能否有95多的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?
(3)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率,现从该校学生中随机调查6名学生,试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下:
未发病 | 发病 | 总计 | |
未注射疫苗 | 20 | ||
注射疫苗 | 30 | ||
总计 | 50 | 50 | 100 |
现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为.
(1)求列联表中的数据
,
,
,
的值;
(2)判断疫苗是否有效?
(3)能够有多大把握认为疫苗有效?
(参考公式,
)
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(题文)(2017·长春市二模)如图,在四棱锥中,底面
是菱形,
,
平面
,
,点
,
分别为
和
中点.
(1)求证:直线平面
;
(2)求与平面
所成角的正弦值.
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【题目】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦矢+矢2).弧田(如图),由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长等于9米的弧田.
(1)计算弧田的实际面积;
(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米?(结果保留两位小数)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的右焦点为
且过点
椭圆C与
轴的交点为A、B(点A位于点B的上方),直线
与椭圆C交于不同的两点M、N(点M位于点N的上方).
(1)求椭圆C的方程;
(2)求△OMN面积的最大值;
(3)求证:直线AN和直线BM交点的纵坐标为常值.
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