Question

【题目】已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点且与直线平行的直线与椭圆交于，两点，若点满足，且与椭圆的另一个交点为，求的值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)由题意知是以为斜边的等腰直角三角形，从而求得B点坐标，代入椭圆方程求出 ，即可得解；(2)设点，，，直线的方程与椭圆方程联立求出，，，利用计算出点Q的坐标, 因为点在椭圆上，所以，整理得，因为， ，，方程解得，即.

解：（1）因为直线的斜率为1，且，

所以是以为斜边的等腰直角三角形，

从而有，

代人椭圆的方程，得，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）得，所以直线的方程为.

设点，，，

将代入，得，

所以，，

所以.

因为，所以，所以.

设，则，，

所以

因为点在椭圆上，所以，

所以，

整理得，.

由上得，且可知，，

所以，整理得，

解得或（舍去），即.