Question

4．求下列函数的反函数．
（1）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+2（x＜0）；
（2）y=2-$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤0）；
（3）y=${3}^{{x}^{2}-1}$（-1≤x≤0）；
（4）y=x|x|+2x．

Answer 1

分析 首先确定函数的值域，即反函数的定义域，然后看作方程解出x，从而将x与y互换即可．

解答 解：（1）∵y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+2（x＜0）；∴y＜2，
∴y=-log₂（1-x）+2，
∴x=1-2^2-y，
即y=1-2^2-x，（x＜2）；
（2）∵y=2-$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤0）的值域为[0，2]，
∴x=-$\sqrt{4-（y-2）^{2}}$，
即y=-$\sqrt{4-（x-2）^{2}}$，（x∈[0，2]）；
（3）∵y=${3}^{{x}^{2}-1}$（-1≤x≤0）的值域为[$\frac{1}{3}$，1]，
∴x²=1+log₃y，∴x=-$\sqrt{1+lo{g}_{3}y}$，
故y=-$\sqrt{1+lo{g}_{3}x}$，（$\frac{1}{3}$≤x≤1）；
（4）y=x|x|+2x的值域为R，
当x≥0时，y=x²+2x，
故x=$\sqrt{y+1}-1$，
当x＜0时，y=-x²+2x，
x=1-$\sqrt{1-y}$；
故y=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x+1}-1，x≥0}\\{1-\sqrt{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了反函数的求法．