Question

19．实系数方程x²+ax+2b=0的-个根在（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）$\frac{b-2}{a-1}$的取值范围；
（2）（a-1）²+（b-1）²的取值范围；
（3）a+b-3的取值范围．

Answer 1

分析 设f（x）=x²+ax+2b，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{1+a+2b＜0}\\{2+a+b＞0}\end{array}\right.$，从而利用线性规划求解即可；
（1）$\frac{b-2}{a-1}$的值是点A（1，2）与点（a，b）的斜率，
（2））（a-1）²+（b-1）²的几何意义是点B（1，1）与平面区域内的点的距离的平方，
（3）结合图象可知，-2+0-3＜a+b-3＜-1+0-3．

解答 解：设f（x）=x²+ax+2b，
∵实系数方程x²+ax+2b=0的-个根在（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=1+a+2b＜0}\\{f（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{1+a+2b＜0}\\{2+a+b＞0}\end{array}\right.$，
作图象如下，

（1）$\frac{b-2}{a-1}$的值是点A（1，2）与点（a，b）的斜率，
k_AD=$\frac{2-1}{1+3}$=$\frac{1}{4}$，k_AC=$\frac{2-0}{1+1}$=1；
故$\frac{1}{4}$＜$\frac{b-2}{a-1}$＜1；
（2））（a-1）²+（b-1）²的几何意义是点B（1，1）与平面区域内的点的距离的平方，
由图可知，|BC|²=（-1-1）²+（0-1）²=5，|BD|²=（-3-1）²+（1-1）²=16，
故5＜（a-1）²+（b-1）²＜16；
（3）结合图象可知，
-2+0-3＜a+b-3＜-1+0-3，
即-5＜a+b-3＜-4．

点评 本题考查了线性规划的综合应用．