Question

3．△ABC中，$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$，△ABC是什么三角形？

Answer 1

分析 由已知$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$，
由正弦定理可得，$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$=$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{\frac{sinA}{cosA}}{\frac{sinB}{cosB}}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$，
∵sinAsinB≠0
∴$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{cosB}{cosA}$，
∴sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，即三角形为等腰或直角三角形．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点，属于基本知识的考查．