Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），离心率是$\frac{1}{2}$，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是$\frac{3}{2}$．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l过点（${\frac{2}{7}$，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，点P（1，y）（y＞0），根据三角形的面积公式即可求得y值，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{4}{b}^{2}}+\frac{{y}^{3}}{{b}^{2}}=1$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）当l斜率不存在时，$A（{\frac{2}{7}，\frac{12}{7}}），B（{\frac{2}{7}，-\frac{12}{7}}）$，$∠ADB=\frac{π}{2}$；当l斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理y₁+y₂及y₁•y₂，求得$\overrightarrow{DA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂-2，y₂），$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+y₁•y₂+4=0，$∠ADB=\frac{π}{2}$，∠ADB是定值．．

解答 解：（1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：a²=$\frac{3}{4}$b²，
由直线x=1与椭圆相交，交点P（1，y）（y＞0），
由题意可知：$\frac{1}{2}$•1•2y=$\frac{3}{2}$，解得：y=$\frac{3}{2}$，
将P（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程，$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{4}{b}^{2}}+\frac{{y}^{3}}{{b}^{2}}=1$，解得b²=3，a²=4，
∴椭圆的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，．
（2）当l斜率不存在时，$A（{\frac{2}{7}，\frac{12}{7}}），B（{\frac{2}{7}，-\frac{12}{7}}）$，
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=0$，
∴$∠ADB=\frac{π}{2}$；
当l斜率存在时，设直线$l：x=my+\frac{2}{7}或y=k（{x-\frac{2}{7}}）$，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+\frac{2}{7}\\ 4{y^2}+3{x^2}-12=0\end{array}\right.$得（196+147m²）y²+84my-576=0，
∵l与C有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△＞0，且${y_1}，{y_2}=\frac{-576}{{196+147{m^2}}}，{y_1}+{y_2}=\frac{-84m}{{196+147{m^2}}}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{-84{m^2}}}{{196+147{m^2}}}+\frac{4}{7}，{x_1}{x_2}=\frac{{-600{m^2}}}{{196+147{m^2}}}+\frac{4}{49}$，
∵$\overrightarrow{DA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂-2，y₂），
$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+y₁•y₂+4，
=$\frac{-432{m}^{2}-576}{196+147{m}^{2}}$+$\frac{144}{49}$，
=$\frac{-432{m}^{2}-576+432{m}^{2}+576}{196+147{m}^{2}}$=0，
∴$∠ADB=\frac{π}{2}$，
综上$∠ADB=\frac{π}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．