Question

13．已知为a，b实数，且ab≠0，则下列命题错误的是（　　）

• A． 若a≠b，则$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$
• B． 若a＞0，b＞0，则$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$
• C． 若$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$，则a＞0，b＞0
• D． 若$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$，则a≠b

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质分别进行判断即可．

解答 解：A．当a=-1，b=-3时，不等式$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$不成立，故A错误，
B．若a＞0，b＞0，则$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$，成立，故B正确，
C．若$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$，则ab≥0，a+b≥0，
∵ab≠0，∴ab＞0，a+b＞0，即a＞0，b＞0，成立，故C正确，
D．若$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$，则a，b＞0，
且$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}$＞0，即$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{2}$＞0，
则$\sqrt{a}≠\sqrt{b}$，即a≠b，
故D正确，
故选：A

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及基本不等式的性质和应用，注意基本不等式成立的条件．