Question

已知函数.
（1）当时，指出的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；
（2）当时，求函数的零点；
（3）若对任何不等式恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）递减区间为，函数既不是奇函数也不是偶函数；（2）或；（3）．

解析试题分析：（1）时，作出函数的图象，如下图，即可得出结论．

（2）实际上就是解方程，只不过在解题时，首先要分类讨论（分和），其次还要注意的是，否则会得出错误结果；本题也可由求出方程的正的零点（这可利用（1）的结论很快解决），然后令等于这些值，就可求出；（3）不等式恒成立求参数取值范围问题，一般把问题转化如转化为求函数的值域（或最值）或者利用不等式的性质，本题参数可以分离，在时，不论取何值，不等式都成立，在时，可转化为，即，下面只要求出的最大值和的最小值．
试题解析：1）当时，函数的单调递减区间为（2分）
函数既不是奇函数也不是偶函数（4分）
（2）当，（1分）
由得  （2分）
即（4分）
解得  (5分)
所以或  （6分）
（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，
故只需考虑，此时原不等式变为 （1分）
即
故   （2分）
又函数在上单调递增， （3分）
函数在上单调递减，在上单调递增，（4分）
；（5分）
所以，即实数的取值范围是 （6分）
考点：（1）函数单调区间与奇偶性；（2）解超越方程；（3）不等式恒成立问题．