设,两个函数,的图像关于直线对称.
(1)求实数满足的关系式;
(2)当取何值时,函数有且只有一个零点;
(3)当时,在上解不等式.
(1);(2);(3).
解析试题分析:(1)两个函数的图象关于某条直线对称,一般都是设是一个函数图象上的任一点,求出这个点关于直线对称的点,而点就在第二个函数的图象上,这样就把两个函数建立了联系;(2)函数有且只有一个零点,一般是求,通过讨论函数的单调性,最值,从而讨论零点的个数,当然本题中由于与的图象关于直线对称,因此的唯一零点也就是它们的的唯一交点必在直线上,这个交点是函数图象与直线的切点,这样我们可从切线方面来解决问题;(3)考虑,
当然要解不等式,还需求,讨论的单调性,极值,从而确定不等式的解集.
试题解析:(1)设是函数图像上任一点,则它关于直线对称的点在函数的图像上,,.
(2)当时,函数有且只有一个零点,两个函数的图像有且只有一个交点,两个函数关于直线对称,两个函数图像的交点就是函数,的图像与直线的切点.
设切点为,,,,,
当时,函数有且只有一个零点;
(3)当时,设 ,则
,当时,,,
当时,,.
在上是减函数.
又=0,不等式解集是.
考点:(1)两个函数图象的对称问题;(2)函数的零点与切线问题;(3)解函数不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
湖南省环保研究所对长沙市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻x的关系为,其中a是与气象有关的参数,且,若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作.
(Ⅰ)令,求t的取值范围;
(Ⅱ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?
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