【题目】如图,在四棱锥中,
是平行四边形,
,
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论.(Ⅱ)运用几何法和坐标法两种方法求解,利用坐标法求解时,在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上,通过图形判断出二面角的大小,最后才能得到结论.
试题解析:
解法一:(Ⅰ)取中点
,连
,
∵,
∴,
∵是平行四边形,
,
,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴平面
,
∴.
∵分别是
的中点,
∴∥
,
∥
,
∴,
,
∵,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
∴是二面角
的平面角.
,
,
,
在中,根据余弦定理得
,
∴二面角的余弦值为
.
解法二:(Ⅰ)∵是平行四边形,
,
,∴
,
∴是等边三角形,∵
是
的中点,
∴,∵
∥
,
∴.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
设,由
,
,
可得,
,
,
∴,
∵是
的中点,∴
,
∵,
∴,
∵,
,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
.
设是平面
的法向量,
由,得
,
令,则
.
又是平面
的法向量,
∴,
由图形知二面角为钝角,
∴二面角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计高三学生参加社区服务的次数在区间(10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
过点
,其参数方程为
(
为参数,
),以
为极点,
轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线
交于
两点,且
,求实数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2017年12月,针对国内天然气供应紧张的问题,某市政府及时安排部署,加气站采取了紧急限气措施,全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况,对该地区某些年份天然气需求量进行了统计,并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合年度天然气需示量 (单位:千万立方米)与年份
(单位:年)之间的关系.并且已知
关于
的线性回归方程是
,试确定
的值,并预测2018年该地区的天然气需求量;
(Ⅱ)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》,该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定,根据续航里程的不同,将补贴金额划分为三类,A类:每车补贴1万元,B类:每车补贴2.5万元,C类:每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计,结果如下表:
类型 |
|
|
|
车辆数目 | 10 | 20 | 30 |
为了制定更合理的补贴方案,政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况,在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本,再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“”,求
的分布列及期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,
、
分别为椭圆
的左、右顶点,点
满足
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线经过点
且与
交于不同的两点
、
,试问:在
轴上是否存在点
,使得直线
与直线
的斜率的和为定值?若存在,请求出点
的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=ex-x2+a,x∈R的图象在x=0处的切线方程为y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
平面
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(1)证明: ;
(2)设为线段
上的动点,若线段
长的最小值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)证明线线垂直则需证明线面垂直,根据题意易得,然后根据等边三角形的性质可得
,又
,因此
得
平面
,从而得证(2)先找到EH什么时候最短,显然当线段
长的最小时,
,在
中,
,
,
,∴
,由
中,
,
,∴
.然后建立空间直角坐标系,写出两个面法向量再根据向量的夹角公式即可得余弦值
解析:(1)证明:∵四边形为菱形,
,
∴为正三角形.又
为
的中点,∴
.
又,因此
.
∵平面
,
平面
,∴
.
而平面
,
平面
且
,
∴平面
.又
平面
,∴
.
(2)如图, 为
上任意一点,连接
,
.
当线段长的最小时,
,由(1)知
,
∴平面
,
平面
,故
.
在中,
,
,
,
∴,
由中,
,
,∴
.
由(1)知,
,
两两垂直,以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又
,
分别是
,
的中点,
可得,
,
,
,
,
,
,
所以,
.
设平面的一法向量为
,
则因此
,
取,则
,
因为,
,
,所以
平面
,
故为平面
的一法向量.又
,
所以
.
易得二面角为锐角,故所求二面角的余弦值为
.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】【2018湖北七市(州)教研协作体3月高三联考】已知椭圆:
的左顶点为
,上顶点为
,直线
与直线
垂直,垂足为
点,且点
是线段
的中点.
(I)求椭圆的方程;
(II)如图,若直线:
与椭圆
交于
,
两点,点
在椭圆
上,且四边形
为平行四边形,求证:四边形
的面积
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于下列四个命题:
p1:x0∈(0,+∞),;
p2:x0∈(0,1),lox0>lo
x0;
p3:x∈(0,+∞),<lo
x;
p4:x∈<lo
x.
其中的真命题是( )
A. p1,p3 B. p1,p4
C. p2,p3 D. p2,p4
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