【题目】已知椭圆的离心率为
,
、
分别为椭圆
的左、右顶点,点
满足
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线经过点
且与
交于不同的两点
、
,试问:在
轴上是否存在点
,使得直线
与直线
的斜率的和为定值?若存在,请求出点
的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)
,定值为1.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由可得
,再根据离心率求得
,由此可得
,故可得椭圆的方程.(Ⅱ)由题意可得直线
的斜率存在,设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程,求出直线
与直线
的斜率,结合根与系数的关系可得
,根据此式的特点可得当
时,
为定值.
试题解析:
(Ⅰ)依题意得、
,
,
∴,
解得.
∵,
∴,
∴,
故椭圆的方程为
.
(Ⅱ)假设存在满足条件的点.
当直线与
轴垂直时,它与椭圆只有一个交点,不满足题意.
因此直线的斜率
存在,设直线
的方程为
,
由消去
整理得
,
设、
,
则,
,
∵
,
∴要使对任意实数,
为定值,则只有
,
此时.
故在轴上存在点
,使得直线
与直线
的斜率的和为定值
.
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【题目】已知函数 若f(x1)=f(x2),且x1<x2,关于下列命题:(1)f(x1)>f(﹣x2);(2)f(x2)>f(﹣x1);(3)f(x1)>f(﹣x1);(4)f(x2)>f(﹣x2).正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计,
表示第
天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
5 | 8 | 8 | 10 | 14 | 15 | 17 |
(Ⅰ)经过进一步统计分析,发现与
具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
;
(Ⅱ)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取元购物券;抽中“二等奖”可领取
元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为
,获得“二等”的概率为
.现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额
的分布列及数学期望.
参考公式:,
,
.
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【题目】从某工厂的一个车间抽取某种产品50件,产品尺寸(单位:)落在各个小组的频数分布如下表:
数据分组 | |||||||
频数 | 3 | 8 | 9 | 12 | 10 | 5 | 3 |
(1)根据频数分布表,求该产品尺寸落在的概率;
(2)求这50件产品尺寸的样本平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据产品的频数分布,求出产品尺寸中位数的估计值.
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【题目】如图,已知椭圆:
,其左右焦点为
、
,过点
的直线交椭圆
于
,
两点,线段
的中点为
,
的中垂线与
轴和
轴分别交于
、
两点,且
、
、
构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记的面积为
,
(
为原点)的面积为
,试问:是否存在直线
,使得
?说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
为椭圆
的左、右焦点,
为椭圆
上的任意一点,
的面积的最大值为1,
、
为椭圆
上任意两个关于
轴对称的点,直线
与
轴的交点为
,直线
交椭圆
于另一点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:直线过定点.
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