Question

【题目】已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由离心率及的面积的最大值为1，即可求得，，从而求得椭圆的标准方程；（2）设，，且，由题意得且直线的斜率必存在，设：，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理，得，即可表示直线：，根据对称性可知直线过的定点必在轴上，从而求出定点坐标.

试题解析：（1）∵当M为椭圆C的短轴端点时，的面积的最大值为1

∴

∴

∵，

∴

∴椭圆C标准方程为：

（2）设，且，

∵

∴

由题意知的斜率必存在，设：，代入得，由得，.

∵

∴斜率必存在，：

由对称性易知直线过的定点必在轴上，则当时，得 ，即在的条件下，直线AE过定点（1，0）.