Question

11．定义域为（-2，1]的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x²-x．若方程f（x）=m有4个根，则m的取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$]
• B． （-$\frac{1}{8}$，-$\frac{1}{16}$）
• C． [-$\frac{1}{8}$，-$\frac{1}{16}$]
• D． （-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）

Answer 1

分析 根据题意，求出x∈（-2，-1]时f（x）的解析式，再求f（x）在区间[-2，-1]上的最小值，再求x∈[-1，0]的解析式，求得最小值；求得x∈[0，1]时的解析式，求得最小值，画出f（x）的图象，通过图象观察，y=f（x）的图象和直线y=m有4个交点的情况，即可得到m的范围．

解答 解：当x∈（-2，-1]时，x+2∈（0，1]，
∴f（x+2）=（x+2）²-（x+2）=x²+3x+2，
又f（x+1）=2f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=2f（x+1）=4f（x），
∴4f（x）=x²+3x+2（-2＜x≤-1），
∴f（x）=$\frac{1}{4}$（x²+3x+2）=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{16}$（-2＜x≤-1），
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，f（x）取得最小值-$\frac{1}{16}$；
当x∈[-1，0]，则x+1∈[0，1]，
故由已知条件可得f（x+1）=（x+1）²-（x+1）=x²+x=2f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（x²+x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
故当x=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{1}{8}$，
当x∈[0，1]时，f（x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，取得最小值-$\frac{1}{4}$．
作出函数f（x）在（-2，1]的图象，
方程f（x）=m有4个根，即为y=f（x）与直线y=m有4个交点，
由图象可得-$\frac{1}{8}$＜m＜-$\frac{1}{16}$，有4个交点．
故选：B．

点评 本题考查函数和方程的转化思想的运用，考查了函数的解析式以及在闭区间上的最值问题，属于中档题．