Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为（其中为常数）.

（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求的取值范围；

（2）当时，求曲线M上的点与曲线N上的点之间的最小距离.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）由，可得到M的普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式可得N的直角坐标方程，根据数形结合的思想，画出两个函数图象，分析即可得到.

（2）设M上的任意一点为，由点到直线的距离公式求出该点到曲线N的距离，转化成求二次函数的最值问题，求解即可.

（1）由，

得曲线M的普通方程为，

曲线N的直角坐标方程为.如图：

当曲线N过点时曲线M与曲线N只有一个公共点，此时.

当曲线N过点时，.

当曲线N与曲线M相切时，由

得，

解得.

结合图像可得或.

（2）当时，曲线，设M上的任意一点为，则

该点到曲线N的距离，

当且仅当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.