Question

5．正四面体ABCD中，M，N分别是棱BC和棱AC的中点，则异面直线AM和DN所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． 0

Answer 1

分析 画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．

解答 解：如图，连接DM，取CM的中点E，连接DE，NE，则NE∥AM，故∠DNE即为所求的异面直线角．设这个正四面体的棱长为2，在△ABC中，AM=$\sqrt{3}$=DN=DM，EN=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
DE=$\sqrt{{EM}^{2}+{AM}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴cos∠END=$\frac{{EN}^{2}+{ND}^{2}-{DE}^{2}}{2NE•DN}$=$\frac{\frac{3}{4}+3-\frac{13}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．