Question

12．已知关于x的不等式x²-2x+2＜2ax+1（a∈R）．
（1）若此不等式的解集为（b，2），求a+b的值；
（2）若a≥-2，求不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）不等式即为x²-（2+2a）x+1＜0，由此不等式的解集为（b，2），即有b，2是方程x²-（2+2a）x+1=0的两根，
再由韦达定理，解方程即可得到；
（2）求出方程的判别式，对a讨论，a=0，a＞0，-2≤a＜0，结合图象和二次不等式的解法，即可得到解集．

解答 解：（1）不等式即为x²-（2+2a）x+1＜0，
由此不等式的解集为（b，2），即有b，2是方程x²-（2+2a）x+1=0的两根，
则有b+2=2+2a，2b=1，
解得a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$，
则a+b=$\frac{3}{4}$；
（2）不等式即为x²-（2+2a）x+1＜0，
判别式为△=（2+2a）²-4=4a（a+2），
若a=0，则△=0，即为x²-2x+1＜0，即有（x-1）²＜0，解集为∅；
若-2≤a＜0，则△＜0，解集为∅；
若a＞0，则△＞0，x²-（2+2a）x+1=0的两根为x=1+a±$\sqrt{a（a+2）}$，
不等式的解集为（1+a-$\sqrt{a（a+2）}$，1+a+$\sqrt{a（a+2）}$）．
综上可得，当-2≤a≤0时，解集为∅；
当a＞0时，解集为（1+a-$\sqrt{a（a+2）}$，1+a+$\sqrt{a（a+2）}$）．

点评 本题考查不等式的解法和运用，注意方程和不等式的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．