Question

12．设F₁、F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$的最大值和最小值分别为（　　）

• A． 1与-2
• B． 2与-2
• C． 1与-1
• D． 2与-1

Answer 1

分析 椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，设Q（x，y），则$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3，由x∈[-2，2]，能求出$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$的最大值和最小值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
设Q（x，y），则$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3，
∵x∈[-2，2]，∴当x=0，即点Q为椭圆短轴端点时，$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$有最小值-2．
当x=±2，即点Q为椭圆长轴端点时，$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$有最大值1．
故选：A．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，具体涉及到椭圆的简单性质、向量的数量积公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．