Question

15．关于x的方程a^x=x${\;}^{\frac{1}{lo{g}_{3}x}}$有小于3的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意知，x＞0，x≠1；从而化简方程a^x=x${\;}^{\frac{1}{lo{g}_{3}x}}$为a^x=3；从而求a的取值范围．

解答 解：由题意知，
x＞0，x≠1；
∵$\frac{1}{lo{g}_{3}x}$=log_x3，
∴方程a^x=x${\;}^{\frac{1}{lo{g}_{3}x}}$可化为：a^x=3，
即a=${3}^{\frac{1}{x}}$；
∵0＜x＜3且x≠1，
∴$\root{3}{3}$＜a＜3或a＞3；
即a的取值范围为（$\root{3}{3}$，3）∪（3，+∞）．

点评 本题考查了对数与指数的运算的应用，属于基础题．