Question

6．已知f（x）=log₄（4^x-1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（3）求f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得4^x-1＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域；
（2）要求函数的单调性，根据复合函数单调性即可证明；
（3）由（2）可知f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，即可求出函数的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=log₄（4^x-1），
∴4^x-1＞0，
∴x＞0，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
（2）∵t=4^x-1在（0，+∞）上为增函数，y=log₄t在（0，+∞）上也为增函数，
根据复合函数的单调性，
∴f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（3）由（2）可知f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
∴f（$\frac{1}{2}$）≤f（x）≤f（2），
∵f（$\frac{1}{2}$）=0，f（2）=log₄15，
∴f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的值域为[0，log₄15]．

点评 本题主要考查了对数函数与指数函数复合而成的复合函数的定义域、单调性及函数的值域的求解，求解单调区间时不要漏掉对函数定义域的考虑，属于基础题．