Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，-$\sqrt{3}$cosωx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$，若直线x=$\frac{π}{3}$是y=f（x）图象的一条对称轴．
（1）求正数ω的最小值；
（2）当正数ω取最小值时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）=cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），由三角函数的对称性易得正数ω取最小值；
（2）可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），解不等式2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π可得单调递减区间，同理可得单调递增区间．

解答 解：（1）由题意可得f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$
=cos²ωx-$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（1+cos2ωx）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∵直线x=$\frac{π}{3}$是y=f（x）图象的一条对称轴，
∴2ω•$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴ω=$\frac{3}{2}$k-$\frac{1}{2}$，k∈Z，
∴当k=1时，正数ω取最小值1；
（2）当正数ω取最小值1时，f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
同理可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数的最值和单调性，涉及三角函数的对称性，属基础题．