Question

6．已知椭圆的离心率e=$\frac{4}{5}$，一条准线的方程为y=-$\frac{25}{4}$，求此椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用椭圆的离心率公式和准线方程、以及基本量a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．

解答 解：设椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{25}{4}$，a²-b²=c²，
解得a=5，b=3，c=4，
可得椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆的离心率公式和准线方程，考查运算能力，属于基础题．