Question

已知函数f（x）=

x 2+ax+a

x

，且a＜1．
（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）设函数g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a，k为常数．若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并比较

1

x1

+

1

x2

与4的大小．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的定义，首先应在所给区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法分析获得两数对应函数值之间的大小关系即可；
（2）首先要将抽象不等式结合函数的奇偶性进行转化，然后根据函数的单调性找到自变量之间的不等关系，注意定义域优先原则．
（3）首先将函数进行化简，或为分段函数，通过研究两段函数的单调性即可获得两根的分布情况，由根的条件以及根的分布即可获得k的取值范围．最后可以通过消参数的办法：通过两个根对应的方程分别将k用两根表示出；或解方程的思想：直接将两根用变量k表出解答问题．

解答：解：（1）由题得：f（x）=x+

a

x

+a，设1≤x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

+a)-(x2+

a

x2

+a)=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=（x₁-x₂）

(x1x2-a)

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，又a＜1，得x₁x₂-a＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，
要满足f（5-2m）＜f（3m）
只要1≤5-2m＜3m，
∴m的取值范围为：1＜m≤2．
（3）g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a=x²+kx+|x²-1|
g（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
g（x）=

kx+1，0＜x≤1 2x2+kx-1，1＜x＜2

，
所以g（x）在（0，1]是单调函数，
故g（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若1＜x₁＜x₂＜2，则x₁x₂=-

1

2

＜0，
故不符题意，
因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由g（x₁）=0得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由g（x₂）=0得k=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1；
故当-

7

2

＜k＜-1时，方程g（x）=0在（0，2）上有两个解．
方法一：因为0＜x₁≤1＜x₂＜2，
所以k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0
消去k得2x₁x₂²-x₁-x₂=0
即

1

x1

+

1

x2

=2x2，因为x₂＜2，
所以

1

x1

+

1

x2

＜4．
方法二：由g（x₁）=0得x₁=-

1

k，

由2x²+kx-1=0得x=

-k± k2+8

4

；
因为x₂∈（1，2），所以x₂=

-k+ k2+8

4

．
则

1

x1

+

1

x2

=-k+

-k+ k2+8

4

=

1

2

(

k2+8

-k)．
而y=

1

2

(

k2+8

-k)=

4

k2+8? +k

在(-

7

2

，-1)上是减函数，
则

1

2

(

k2+8

-k)＜

1

2

(

(- 7 2 )2+8

+

7

2

)=4．
因此，

1

x1

+

1

x2

＜4．

点评：本题考查的是函数单调性的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数的性质、抽象不等式的解答以及函数与方程的思想和问题转化的能力．