Question

【题目】已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，交轴于点.

（1）判断的形状；

（2） 若两点在抛物线上，点满足，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆与抛物线在点处的有相同的切线，求点的坐标.

Answer 1

【答案】(1) 为等腰三角形.

(2) 点的坐标为.

【解析】分析：（1）利用导数求得切线方程，令，可求得点坐标，根据抛物线的焦点半径公式，即可求得，则为等腰三角形；（2）根据向量的坐标运算，求得点坐标，分别求得及的中垂线方程，即可求得外接圆的圆心，由，即可求得点的坐标.

详解：（1）设，

∵，∴，

则切线的方程为，即，

∴，

∵，∴

所以为等腰三角形.

（2）设，

∵，∴是的中点，

∴，

∵在抛物线上，

∴，

∴或

∴两点的坐标为，设（），

则由①②得圆心

由得，

∴或，

∵，

∴

∴点的坐标为.