Question

已知双曲线x²-y²=2若直线n的斜率为2 ，直线n与双曲线相交于A、B两点，线段AB的中点为P，

(1)求点P的坐标（x,y)满足的方程（不要求写出变量的取值范围）；

(2)过双曲线的左焦点F₁，作倾斜角为的直线m交双曲线于M、N两点，期中，F₂是双曲线的右焦点，求△F₂MN的面积S关于倾斜角的表达式。

 

Answer 1

【答案】

(1)(可以写出范围：或)，不写也不扣分)；

(2)

【解析】

试题分析：(1) 这类问题基本方法是设直线方程为，代入双曲线方程化简后可得，同时设中点坐标为，则有，又，即，再代入即得出所求中点轨迹方程；对于求圆锥曲线中点轨迹方程，我们还可以采取设而不求的方法，即设，中点，只要把两点坐标代入圆锥曲线方程，所得两式相减，即可得出与的关系，前者是直线的斜率，后者正是点坐标的关系，由此可很快得到所求轨迹方程；(2) 设，，由于，因此，而可以用直线方程与双曲线方程联立方程组，消去可得的一元二次方程，从这个方程可得，从而得三角形面积，但要注意当直线斜率不存在时需另外求．

试题解析：（1）解法1：设直线方程为，

代入双曲线方程得：， 2分

由得.设、两点坐标分别为、，则有；又由韦达定理知：， 4分

 所以，即得点的坐标所满足的方程.    5分

注：或，点的轨迹为两条不包括端点的射线.

 解法2：设、两点坐标分别为、，则有，，两式相减得：（*）.  2分

又因为直线的斜率为2，所以，再由线段中点的坐标，得

.  4分

代入（*）式即得点的坐标所满足的方程.      5分

（2），，直线与轴垂直时，，此时，△的面积=.          6分

直线与轴不垂直时，直线方程为，          7分

设，

解法1：将代入双曲线，整理得：，即

          9分

所以，          10分

=.          13分

所以，.         14分

解法2：参见理科解法2。

考点：(1)圆锥曲线弦的中点轨迹方程；(2)直线与圆锥曲线相交弦长与三角形面积．