Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且

1

2

，an，Sn成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列满足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），求证：

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得2an=Sn+

1

2

，令n=1可求a₁，n≥2时，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可得a_n；
（Ⅱ）表示出b_n，进而可得

1

bn

，并拆项，利用裂项相消法可求和，由和可得结论；

解答：解：（Ⅰ）∵

1

2

，an，Sn成等差数列，∴2an=Sn+

1

2

，
当n=1时，2a1=a1+

1

2

，解得a1=

1

2

；
当n≥2时，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，
两式相减得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，∴

an

an-1

=2，
所以数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为2的等比数列，an=

1

2

×2n-1=2n-2．
（Ⅱ）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）
=log222n+1-2×log222n+3-2
=（2n-1）（2n+1），

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
则

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查裂项相消法对数列求和，考查等比数列的通项公式，属中档题．