Question

10．已知函数f（x）=log₂（x²+1），函数g（x）=（$\frac{1}{3}$）^x-m．若?x₁∈[0，3]，?x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），则m的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{9}$，+∞）
• B． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{9}$]
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 要使命题成立需满足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，利用函数的单调性，可求最值，即可得到实数m的取值范围．

解答 解：∵当x₁∈[0，3]时，函数f（x）是增函数，
∴f（x₁）∈[0，log₂10]；
∵g（x）=（$\frac{1}{3}$）^x-m在[1，2]上是减函数，
∴当x₂∈[1，2]时，g（x₂）∈[$\frac{1}{9}$-m，$\frac{1}{3}$-m]．
要使命题成立需满足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
即0≥$\frac{1}{9}$-m，
解得m≥$\frac{1}{9}$，
故选：A

点评 本题考查函数恒成立问题，解决的常用方法是转化为函数的最值问题进行处理．，考查学生逻辑思维，分析解决问题的能力．要使命题成立需满足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，是解题的关键，属于中档题．