Question

2．已知函数f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f[x（x-$\frac{1}{2}$）]＜0．

Answer 1

分析 （1）根据对数的意义得出$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解不等式得出定义域
（2）利用奇偶函数的定义，先看定义域再看解析式即可判断．
（3）先求解f（x）＜0，即可得出0＜$\frac{1+x}{1-x}$＜1，化简得出0＜x＜1，根据变量的意义得出：0$＜x（x-\frac{1}{2}）$＜1．求解即可．

解答 解：函数f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）$\frac{1-x}{1+x}$＞0，
求解即得出：x∈（-1，1）
∴f（x）的定义域：（-1，1）
（2）∵（x）的定义域：（-1，1）关于原点对称
f（-x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$=-ln$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x）
∴f（x）为奇函数．
（3）∵f（x）＜0
∴0＜$\frac{1+x}{1-x}$＜1，
即可得出：0＜x＜1
∵不等式f[x（x-$\frac{1}{2}$）]＜0．
∴转化为：0$＜x（x-\frac{1}{2}）$＜1．
$\left\{\begin{array}{l}{x＜0或x＞\frac{1}{2}}\\{\frac{1-\sqrt{17}}{4}＜x＜\frac{1+\sqrt{17}}{4}}\end{array}\right.$即$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$＜x＜0或$\frac{1}{2}$＜x$＜\frac{1+\sqrt{17}}{4}$
∴解集为：{x|$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$＜x＜0或$\frac{1}{2}$＜x$＜\frac{1+\sqrt{17}}{4}$}

点评 本题综合考察了对数函数的性质，不等式的求解属于中档题，关键是转化为常见的不等式求解．