Question

11．如图，在底面为菱形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=60°，SA=AB=a，SB=SD=$\sqrt{2}$SA，点P在SD上，且SD=3PD，
（1）证明：BD⊥平面SAC；
（2）若过点B的平面与SC、SD分别交于点E、F，且平面BEF∥平面APC，求SE的长度．

Answer 1

分析 （1）证明SA⊥平面ABCD，可得BD⊥SA，ABCD是菱形，可得BD⊥AC，即可证明BD⊥平面SAC；
（2）证明F是SP的中点，E是SC的中点，求出SC，即可求SE的长度．

解答 （1）证明：菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=a，
∴AB=AD=AC=a，
∵SA=a，SB=$\sqrt{2}$a，
∴AB²+SA²=SB²，
∴SA⊥AB，
同理SA⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴SA⊥平面ABCD，
∵BD∈平面ABCD，
∴BD⊥SA，
连接AC，BD交于点O，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC；
（2）解：连接PO，
∵O是菱形ABCD的对角线的交点，
∴BO=DO，
∵平面BEF∥平面APC，∴PC∥EF，
同理PO∥EF，
∴△BDF中，PO是中位线，
∵SD=3PD，
∴PD=PF=$\frac{1}{3}$SD，
∴F是SP的中点，
∵PC∥EF，
∴E是SC的中点，
△SAC中，SA=AC=a，
∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥AC，
∴SC=$\sqrt{2}$SA=$\sqrt{2}a$，
∴SE=$\frac{1}{2}$SC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查平面与平面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．