Question

13．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆o：x²+y²+2x=0上的任意一点，点Q（2a，a+3）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准形式，由条件求得点Q（2a，a+3）到圆心（-1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．

解答 解：圆o：x²+y²+2x=0，即 （x+1）²+y² =1，表示以（-1，0）为圆心、半径等于1的圆．
点Q（2a，a+3）到圆心（-1，0）的距离d=$\sqrt{{（2a+1）}^{2}{+（a+3）}^{2}}$=$\sqrt{{5a}^{2}+10a+10}$=$\sqrt{{5（a+1）}^{2}+5}$，
故当a=-1时，d取得最小值为$\sqrt{5}$，故线段PQ长度的最小值为$\sqrt{5}$-1，
故答案为：$\sqrt{5}-1$．

点评 本题主要考查圆的一般方程，直线和圆的位置关系，二次函数的性质，求出点Q到圆心的距离d的最小值，是解题的关键，属于中档题．