Question

【题目】如图①，已知直角梯形ABCD中，，，过A作，垂足为E.现将沿AE折叠，使得，如图②.

（1）求证：；

（2）若FG分别为AE，DB的中点.

（i）求证：平面DCE；

（ii）求证：平面平面DBC.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】

（1）证明平面得出，再根据得出；

（2）（i）取的中点，连接、，证明四边形是平行四边形，得出，故而平面；

（ii）由可得四边形为矩形，可得 ，证明可得，从而平面，故平面平面.

证明：（1）在图①中，，

∴在图②中，，，

又平面CDE，平面CDE，，

平面CDE，，

由图①可知四边形ABCD是矩形，，

∴在图②中，，

故；

（2）（i）取CD的中点H，连接EH，HG，

H，G分别是CD，BD的中点，

，，

四边形ABCE是矩形，F是AE的中点，

，，

∴四边形EFGH是平行四边形，

，又平面CDE，平面CDE，

平面CDE.

（ii）由（1）可知平面CDE，，

由（i）可知四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是矩形，

，

，，

，又G是BD的中点，

，

又平面BCD，平面BCD， ，

平面BCD，

又平面BDF，

∴平面平面BDF.