【题目】大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查,得到的情况如下表所示:
喜欢盲拧 | 不喜欢盲拧 | 总计 | |
男 | 22 | 30 | |
女 | 12 | ||
总计 | 50 |
表1
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表所示:
成功完成时间(分钟) | [0,10) | [10,20) | [20,30) | [30,40] |
人数 | 10 | 10 | 5 | 5 |
表2
(1)将表1补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?
(2)根据表2中的数据,求这30名男生成功完成盲拧的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(3)现从表2中成功完成时间在[0,10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录,记成功完成时间在[0,10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.
附参考公式及数据:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】(1)见解析,能;(2)分钟;(3)分布列见解析,.
【解析】
(1)根据总计50人,男生喜欢盲拧22,女生不喜欢盲拧12,填完整即可,由的计算公式计算数值与5.02比较即可;
(2)根据平均数的定义计算即可;
(3)由题意可知:,1,2,3,然后根据古典概型的概率计算公式分别求出相应的概率,写出分布列,最后利用数学期望公式解之即可.
解:(1)依题意,补充完整的表1如下:
喜欢盲拧 | 不喜欢盲拧 | 总计 | |
男 | 22 | 8 | 30 |
女 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
由表中数据计算得的观测值为
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关;
(2)依题意,所求平均时间为(分钟)
(3)依题意,X的可能取值为0,1,2,3,故
故X的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
故.
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【题目】已知函数的最小正周期为,将函数的图像向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到函数的图像.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在锐角中,角的对边分别为,若,,求面积的最大值.
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【题目】已知下列命题:
①回归直线恒过样本点的中心,且至少过一个样本点;
②两个变量相关性越强,则相关系数r就越接近于1;
③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,方差不变;
④在回归直线方程 中,当解释变量x增加一个单位时,预报变量平均减少0.5;
⑤在线性回归模型中,相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率,越接近于1,表示回归效果越好;
⑥对分类变量与,它们的随机变量的观测值来说, 越小,“与有关系”的把握程度越大.
⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
则正确命题的个数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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【题目】已知曲线C的参数方程是(φ为参数,a>0),直线l的参数方程是(t为参数),曲线C与直线l有一个公共点在x轴上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系.
(1)求曲线C的普通方程;
(2)若点A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+),C(ρ3,θ+)在曲线C上,求的值.
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【题目】如图①,已知直角梯形ABCD中,,,过A作,垂足为E.现将沿AE折叠,使得,如图②.
(1)求证:;
(2)若FG分别为AE,DB的中点.
(i)求证:平面DCE;
(ii)求证:平面平面DBC.
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【题目】在平面直角坐标系中,过动点作直线的垂线,垂足为,且满足,其中为坐标原点,动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)过点作与轴不平行的直线,交曲线于,两点,点,记,,分别为,,的斜率,求证:为定值.
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