Question

【题目】设，则使得的的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．

详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，

分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（ex﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，

则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，

f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），

当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），

又由x≥1，则有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，

则有f′（x）＜0，

即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，

f（x+1）＜f（2x﹣2）f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）

f（|x|）＜f（|2x﹣3|）|x|＞|2x﹣3|，

变形可得：x2﹣4x+3＜0，

解可得1＜x＜3，

即不等式的解集为（1，3）；

故选：B．