Question

【题目】设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在零点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数； （2）.

【解析】

（1）先确定函数的定义域，然后求，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数 的单调区间；

（2）采用分离参数法，得，根据在上存在零点，可知有解，构造，求导，知在上存在唯一的零点，即零点k满足，进而求得，再根据有解，得证

（1）解：函数的定义域为，

因为，所以．

所以当时，，在上是增函数；

当时，，在上是减函数．

所以在上是增函数，在上是减函数．

（2）证明：由题意可得，当时，有解，

即有解．

令，则．

设函数，所以在上单调递增．

又，所以在上存在唯一的零点．

故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．

当时，；当时，．

所以在上的最小值为．

又由，可得，所以，

因为在上有解，所以，即．