Question

3．过双曲线16x²-9y²=144的-个焦点作-条渐近线的平行线，与双曲线交于一点P．点P与双曲线的两个顶点所构成的三角形的面积为$\frac{32}{5}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，设出一条渐近线方程和一个焦点，得到平行线方程，代入双曲线方程，可得交点P的坐标，再由三角形的面积公式计算可得所求．

解答 解：双曲线16x²-9y²=144即为：
$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，则a=3，b=4，c=5．
设焦点为（5，0），一条渐近线为y=$\frac{4}{3}$x，
即有与渐近线平行的直线为y=$\frac{4}{3}$（x-5），
代入双曲线方程16x²-9y²=144，可得：
x²-（x-5）²=9，
解得x=$\frac{17}{5}$，y=-$\frac{32}{15}$．
即P（$\frac{17}{5}$，-$\frac{32}{15}$），
则点P与双曲线的两个顶点，
所构成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{32}{15}$=$\frac{32}{5}$．
故答案为：$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，解方程求交点，考查三角形的面积公式的计算，属于基础题．