Question

已知函数f（x）=|log₂x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，则n=

 

．

Answer 1

考点：对数函数的值域与最值

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得0＜m＜1＜n，-log₂m=log₂n，mn=1．根据函数f（x）=|log₂x|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，可得|log2m2|=2，或log₂n=2，由此求得n的值．

解答： 解：由题意可得0＜m＜1＜n，-log₂m=log₂n，∴log₂mn=0，∴mn=1．
故函数f（x）=|log₂x|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
再根据f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，可得|log2m2|=2，或 log₂n=2．
当|log2m2|=2时，log2m2=-2，∴m²=

1

4

，∴m=

1

2

，∴n=

1

m

=2．
当log₂n=2，n=4，m=

1

4

，此时，f（x）在区间[m²，n]上的最大值为|log2

1

16

|=4，不满足条件．
综上可得，n=2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查对数函数的单调性的应用，求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．