Question

已知曲线C：x²+y²+2x+m=0（m∈R）
（1）若曲线C的轨迹为圆，求m的取值范围；
（2）若m=-7，过点P（1，1）的直线与曲线C交于A，B两点，且|AB|=4，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）将圆的方程化为标准方程，利用曲线C的轨迹为圆，可得圆的半径大于0，从而可求m的取值范围；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，可求直线AB的方程．

解答： 解：（1）将原方程配方得：（x+1）²+y²=1-m，
∵曲线C的轨迹为圆，
∴1-m＞0，∴m＜1
（2）当m=-7时，（x+1）²+y²=8，圆心为（-1，0），半径为2

2

当直线斜率不存在时，直线方程为x=1，截圆（x+1）²+y²=8所得弦长为4，符合题意
过点P斜率为k的直线方程为y-1=k（x-1），点（-1，0）到直线kx-y-k+1=0的距离为d=

|-2k+1|

k2+1

=2，解得k=-

3

4

直线AB的方程为y-1=-

3

4

(x-1)，即3x+4y-7=0
综上，所求直线AB的方程为3x+4y-7=0，或x=1．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．