Question

【题目】椭圆中心是原点O，它的短轴长为 ，右焦点F（c，0）（c＞0），它的长轴长为2a（a＞c＞0），直线l： 与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）若 ，求直线PQ的方程；
（3）设 （λ＞1），过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，

设椭圆方程为 ．

由|OF|=2|FA|，得c=2（ ），整理得：3c2=2a2，∴e= ．

联立 ，解得：a2=6，b2=2．

∴椭圆的方程为 ，离心率 ．

（2）解：由题意可知直线l的斜率显然存在，设其斜率为k（k≠0），且A（3，0）．

则直线l的方程为y=k（x﹣3），设P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立 ，得：（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0．

由△=（﹣18k2）2﹣4（1+3k2）（27k2﹣6）=12（2﹣3k2）＞0，得： ．

， ．

由 ，得x1x2+y1y2=0．

即x1x2+（kx1﹣3k）（kx2﹣3k）=

= =0．

化简得： ，∴k= ，满足 ．

（3）解： ， ，

由已知得方程组 ，解得： ．

∵F（2，0），M（x1，﹣y1）．

故 =（λ（x2﹣3）+1，﹣y1）

= = ．

而 ．

∴ ．

【解析】（1）首先由条件|OF|=2|FA|列式，求出椭圆的离心率，然后结合短轴长2b= 及a2=b2+c2可求a2 ， 则椭圆方程可求；（2）写出过点A的直线方程，设出直线与椭圆相交于P、Q两点的坐标，联立直线方程和椭圆方程后求出P、Q两点的横坐标的和与积，由 ，得到P、Q两点的坐标的关系，转化为横坐标的关系后，把前面得到的和与积的表达式代入即可求出直线的斜率，则直线方程可求；（3）由向量的坐标表示写出 ， ，再由 （λ＞1）及P，Q两点的坐标都适合椭圆方程列式找出P，Q两点的坐标与λ的关系，最后把要证的等式的两边的坐标都用λ和纵坐标表示即可得证．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．