【题目】已知函数f(x)=|x﹣t|+ (x>0);
(1)判断函数y=f(x)在区间(0,t]上的单调性,并证明;
(2)若函数y=f(x)的最小值为与t无关的常数,求实数t的取值范围.
【答案】
(1)解:0<x≤t,f(x)=t﹣x+ ,
∴f′(x)=﹣1﹣ <0,
∴函数y=f(x)在区间(0,t]上单调递减;
(2)解:t≤0,f(x)=x+t+ ,函数单调递增,无最小值,
t>0时,x>t,f(x)=x+ ﹣t,要使函数y=f(x)的最小值为与t无关的常数,则t≥ ,
∴0<t≤1,最小值为1.
【解析】(1)当0<x≤t时,对f(x)进行求导,得到单调递减,(2)分类讨论,要使函数y=f(x)的最小值为与t无关的常数,则t≥,可求得t的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣2x+c,且f(x)>0的解集是 .
(1)求f(2)的最小值及f(2)取最小值时f(x)的解析式;
(2)在f(2)取得最小值时,若对于任意的x>2,f(x)+4≥m(x﹣2)恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】椭圆中心是原点O,它的短轴长为 ,右焦点F(c,0)(c>0),它的长轴长为2a(a>c>0),直线l: 与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程和离心率;
(2)若 ,求直线PQ的方程;
(3)设 (λ>1),过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明: .
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【题目】点P在圆O:x2+y2=8上运动,PD⊥x轴,D为垂足,点M在线段PD上,满足 .
(1)求点M的轨迹方程;
(2)过点Q(1, )作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点,使点Q为弦AB的中点,求直线l的方程.
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【题目】已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程.
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【题目】如图,平面ABEF⊥平面ABC,四边形ABEF为矩形,AC=BC.O为AB的中点,OF⊥EC.
(1)求证:OE⊥FC:
(2)若 时,求二面角F﹣CE﹣B的余弦值.
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【题目】设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号,只有一个正确选项)
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