【题目】点P在圆O:x2+y2=8上运动,PD⊥x轴,D为垂足,点M在线段PD上,满足 .
(1)求点M的轨迹方程;
(2)过点Q(1, )作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点,使点Q为弦AB的中点,求直线l的方程.
【答案】
(1)解:∵点M在线段PD上,满足 ,
∴点M是线段PD的中点,
设M(x,y),则P(x,2y),
∵点P在圆O:x2+y2=8上运动,
则x2+(2y)2=8,
即 ,
故点M的轨迹方程为 .
(2)解:
方法一:当直线l⊥x轴时,由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x轴上,
不可能是点Q,这种情况不满足题意.
设直线l的方程为 ,
由 ,
可得 ,
由韦达定理可得x1+x2=﹣ ,
由AB的中点为 ,可得﹣ =2,
解得 ,
即直线l的方程为y﹣ =﹣ (x﹣1),
则直线l的方程为x+2y﹣2=0.
方法二:当直线l⊥x轴时,由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x轴上,
不可能是点Q,这种情况不满足题意.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
A、B两点在椭圆上,
满足 ,
由(1)﹣(2)可得 ,
则 ,
由AB的中点为 ,可得x1+x2=2,y1+y2=1,代入上式 ,
即直线l的方程为y﹣ =﹣ (x﹣1),
∴直线l的方程为x+2y﹣2=0.
【解析】(1)判断M线段PD的中点,设M(x,y),则P(x,2y),运用代入法,即可得到所求轨迹方程;(2) 方法一、运用直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点坐标公式,化简整理可得斜率k,由点斜式方程可得直线方程;
方法二、设A(x1 , y1),B(x2 , y2),A、B两点在椭圆上,代入椭圆方程,运用作差法和斜率公式,再由点斜式方程可得直线的方程.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= +lnx在(1,+∞)上是增函数,且a>0.
(1)求a的取值范围;
(2)求函数g(x)=ln(1+x)﹣x在[0,+∞)上的最大值;
(3)设a>1,b>0,求证: .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上.已知∠ACB=60°,|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为 元,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为 元(k为正常数).
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)求总造价T关于面积S的函数T=f(S);
(3)如何选取|AM|,使总造价T最低(不要求求出最低造价).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=|x﹣t|+ (x>0);
(1)判断函数y=f(x)在区间(0,t]上的单调性,并证明;
(2)若函数y=f(x)的最小值为与t无关的常数,求实数t的取值范围.
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