【题目】已知集合 ,集合
.
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|2a≤x≤a+1},且(A∩B)C,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:解A=(﹣3,0),B=(﹣3,1),
所以A∩B=(﹣3,0)
(2)解:若C=时,2a>a+1,即a>1;
若C≠时, ,解得﹣
综上: 或a>1.
【解析】(1)解出集合A,解出集合B,再使用集合的交集运算即可,(2)分C是否为空集进行讨论,得到满足(A∩B)C的实数a的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用集合的交集运算和交、并、补集的混合运算,掌握交集的性质:(1)A∩BA,A∩B
B,A∩A=A,A∩
=
,A∩B=B∩A;(2)若A∩B=A,则A
B,反之也成立;求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法即可以解答此题.
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【题目】一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时,拱桥最高点距水面8m,拱桥内水面宽32m,船只在水面以上部分高6.5m,船顶部宽8m,故通行无阻,如图所示.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求正常水位时圆弧所在的圆的方程;
(2)近日水位暴涨了2m,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到0.1m, )
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【题目】点P在圆O:x2+y2=8上运动,PD⊥x轴,D为垂足,点M在线段PD上,满足 .
(1)求点M的轨迹方程;
(2)过点Q(1, )作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点,使点Q为弦AB的中点,求直线l的方程.
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【题目】若函数f(x)=ax3+blog2(x+ )+2在(﹣∞,0)上有最小值﹣5,(a,b为常数),则函数f(x)在(0,+∞)上( )
A.有最大值5
B.有最小值5
C.有最大值3
D.有最大值9
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【题目】如图,平面ABEF⊥平面ABC,四边形ABEF为矩形,AC=BC.O为AB的中点,OF⊥EC.
(1)求证:OE⊥FC:
(2)若 时,求二面角F﹣CE﹣B的余弦值.
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【题目】定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)f(b)且对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(1)求f(0);
(2)证明:函数y=f(x)在R上是增函数;
(3)若f(x)f(2x﹣x2)>1,求x的取值范围.
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【题目】如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上),设BP=t.
(I)用t表示出PQ的长度,并探求△CPQ的周长l是否为定值;
(Ⅱ)设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S(平方百米),求S的最大值.
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【题目】如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.
(1)求证:直线BD1∥平面PAC
(2)求证:平面PAC⊥平面BDD1B1 .
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