【题目】定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)f(b)且对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(1)求f(0);
(2)证明:函数y=f(x)在R上是增函数;
(3)若f(x)f(2x﹣x2)>1,求x的取值范围.
【答案】
(1)解:令a=b=0,f(0)=[f(0)]2,又∵f(0)≠0,∴f(0)=1
(2)解:证明:设任意x1<x2,则x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>1,
f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)f(x1),
∵f(x1)>0,∴ ,
∴f(x2)>f(x1),
∴函数y=f(x)在R上是增函数
(3)解:f(x)f(2x﹣x2)=f(3x﹣x2)>f(0),
∵f(x)是R上增函数,
∴3x﹣x2>0,
∴0<x<3
【解析】(1)令a=b=0,可求f(0)=1,(2)设任意x1<x2,则x2﹣x1>0,可得到f(x2)>f(x1),即函数为单调递增,(3)利用函数的单调性及抽象函数的关系进行求解即可.
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【题目】某化工厂生产某种产品,当年产量在150吨至250吨时,每年的生产成本y万元与年产量x吨之间的关系可可近似地表示为y= ﹣30x+4000.
(1)若每年的生产总成本不超过2000万元,求年产量x的取值范围;
(2)求年产量为多少吨时,每吨的平均成本最低,并求每吨的最低成本.
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【题目】在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.
(1)求EF的长
(2)证明:EF∥平面AA1D1D;
(3)证明:EF⊥平面A1CD.
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【题目】甲、乙两人都准备于下午12:00﹣13:00之间到某车站乘某路公交车外出,设在12:00﹣13:00之间有四班该路公交车开出,已知开车时间分别为12:20;12:30;12:40;13:00,分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率.
(1)他们各自选择乘坐每一班车是等可能的;
(2)他们各自到达车站的时刻是等可能的(有车就乘).
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【题目】某加工厂用某原料由车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )
A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
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【题目】某农场种植黄瓜,根据多年的市场行情得知,从春节起的300天内,黄瓜市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示,黄瓜的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示.(注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天)
(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(x);
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问从春节开始的第几天上市的黄瓜纯收益最大?并求出最大值.
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