Question

【题目】已知函数f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；
（3）设a＞1，b＞0，求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的导数为f′（x）=﹣ + ，

因为函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，

所以f′（x）=﹣ + ≥0在（1，+∞）上恒成立，

即x≥ 在（1，+∞）上恒成立，

所以只需1≥ ，

又因为a＞0，所以a≥1

（2）解：因为x∈[0，+∞），所以g′（x）= ﹣1= ≤0

所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，

所以g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值为g（0）=0

（3）解：证明：因为a＞1，b＞0，所以 ＞1，

由（1）知f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函数，所以f（ ）＞f（1），

即 +ln ＞0，化简得 ＜ln ，

又因为 =1+ ，

由第（2）问可知g（ ）=ln（1+ ）﹣ ＜g（0）=0，

即ln ＜ ，

综上 得证

【解析】（1）求出函数的导数，由函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以f′（x）=﹣ + ≥0在（1，+∞）上恒成立，运用参数分离，求得最值即可；（2）求得g（x）的导数，求得单调性，即可得到最小值；（3）由（1）知f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函数，所以f（ ）＞f（1），由第（2）问可知g（ ）=ln（1+ ）﹣ ＜g（0）=0，化简即可得证．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．