Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，$BD=2\sqrt{3}$，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P-BC-D的大小为$\frac{π}{6}$，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．
（2）由BC⊥平面PBD，得∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=$\frac{π}{6}$，从而BD=2$\sqrt{3}$，PD=2，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
AB=2AD=4，$BD=2\sqrt{3}$，PD⊥底面ABCD．
∴CD²=BC²+BD²，∴BC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．
解：（2）由（1）所证，BC⊥平面PBD，
∴∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=$\frac{π}{6}$，
∵BD=2$\sqrt{3}$，∴PD=2，∵底面ABCD为平行四边形，
∴DA⊥DB，
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C（-2，2$\sqrt{3}$，0），P（0，0，2），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-2$\sqrt{3}$，2），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2\sqrt{3}b+2c=0}\end{array}\right.$，令b=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$₌$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}•2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．