Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，它们的夹角为θ，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$-\frac{1}{2}$．
（1）求θ的值；
（2）求|3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$|；
（3）若（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量级的定义计算cosθ；
（2）计算（3$\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}$）²，然后开方即可得到|3$\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$|；
（3）令（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0列方程解出k．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ=cos$θ=-\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{2π}{3}$．
（2）（3$\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}$）²=9${\overrightarrow{a}}^{2}+30\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+25{\overrightarrow{b}}^{2}$=9-15+25=19，
∴|3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{19}$．
（3）∵（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），∴（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
即3k${\overrightarrow{a}}^{2}$+（k²-3）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-k${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴3k-$\frac{1}{2}$（k²-3）-k=0，
解得k=2+$\sqrt{7}$或k=2-$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，向量垂直与数量级的关系，属于基础题．