Question

【题目】已知函数是定义在， ， 上的奇函数，当， 时, （）.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）设， ， ，求证：当时， 恒成立；

（Ⅲ）是否存在实数，使得当， 时， 的最小值是？如果存在，

求出实数的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】试题分析：本题主要考查对称区间上函数解析式、利用导数求函数最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分类讨论思想、数形结合思想，考查学生的转化能力、计算能力．第一问，把所求范围转化为已知范围代入到已知解析式，再利用奇偶性整理解析式；第二问，先将代入到和中，构造新函数，所求证的表达式转化为，对和求导判断函数单调性，求出函数最值，代入到转化的式子中验证对错即可；第三问，先假设存在最小值3，对求导，分情况讨论a，通过是否在区间内讨论a的4种情况，分别判断函数的单调性，且数形结合求出函数最值，令其等于3，解出a的值．

（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以

故函数的解析式为2分

（2）证明：当且时，

，设

因为，所以当时， ，此时单调递减；当时， ，此时单调递增，所以

又因为，所以当时， ，此时单调递减，所以

所以当时， 即6分

（3）解：假设存在实数，使得当时， 有最小值是3，

则

（ⅰ）当， 时， ． 在区间上单调递增，

，不满足最小值是３

（ⅱ）当， 时， ， 在区间上单调递增，

，也不满足最小值是３

（ⅲ）当，由于，则，故函数是上的增函数．所以，解得（舍去）

（ⅳ）当时，则当时， ，此时函数是减函数；当时， ，此时函数是增函数．

所以，解得

综上可知，存在实数，使得当时， 有最小值３ 12分